指数分布的期望和方差
期望值：
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(1)随机变量X的取值范围是从0到正无穷；
(2)密度函数极大值在x＝0处，即f(x)＝λ；
(3)密度函数曲线随着x的增大，迅速递减；λ越大，密度函数曲线在零点附近越高，下降越急速；
(4)λ越大，分布函数曲线在零点附近越高，上升越急速，更早达到天花板（即p=1）；熟记，指数分布的期望值和方差为µ＝1/λ，σ2＝1/λ2。
参考资料来源：百度百科-指数分布
指数分布的方差是什么？
以1/θ为参数的指数分布，期望是θ，方差是θ的平方
这是同济大学4版概率论的说法。当然，一般参考书说成：以λ为参数的指数分布，期望是1/λ，方差是（1/λ）的平方
，其实是一回事！！！！
设随机变量服从参数为入的指数分布，期望和方差怎么求？
指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ；方差为（1/λ）^2
E(X)==∫x*f(x)dx==∫λx*e^(-λx)dx=-(xe^(-λx)+1/λ*e^(-λx))|(正无穷到0)=1/λ
E(X^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*λ*e^(λx)dx=-(2/λ^2*e^(-λx)+2x*e^(-λx)+λx^2*e^(-λx))|(正无穷到0)=2/λ^2
DX=E(X^2)-(EX)^2=2/λ^2-(1/λ)^2=1/λ^2
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指数分布的应用
在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。
但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性。因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后，仍然如同新的产品一样，不影响以后的工作寿命值。
或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同。指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。
指数分布的方差是什么？
以1/θ为参数的指数分布，期望是θ，方差是θ的平方
这是同济大学4版概率论的说法。当然，一般参考书说成：以λ为参数的指数分布，期望是1/λ，方差是（1/λ）的平方
，其实是一回事！！！！
求各种分布的期望和方差的公式
1、均匀分布，期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。
2、二项分布，期望是np，方差是npq。
3、泊松分布，期望是p，方差是p。
4、指数分布，期望是1/p,方差是1/(p的平方)。
5、正态分布，期望是u，方差是&的平方。
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1、期望的数学含义：就是平均值。
2、期望的计算公式：E(x)=P1X1+P2X2+···PnXn
相关例子：掷骰子点数的期望是：1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)=3.5
3、方差的数学含义：离散程度，波动，风险。
4、方差的计算公式：D(x)=[（X1-X）^2]*P1+[（X2-X）^2]*P2+···
相关例子：掷骰子点数的方差是：(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+···(6-3.5)^2=8.75*(1/3)
5、方差，描述的就是波动，或者说风险的大小。期望是10万元，不等于一定能赚10万元，也需要考虑风险的大小。
随机变量x的概率密度为指数分布，求方数学期望和方差
Ex=∫(0,∞) xe⁻ˣ dx = -∫(0,∞) xde⁻ˣ = -[xe⁻ˣ]|(0,∞) + ∫(0,∞) e⁻ˣdx
= -(0-0) - e⁻ˣ|(0,∞) = -(0-1) = 1，即：Ex =1 。
2. 那么：E(3x+2) = 3Ex+2 = 5 。
3. Dx = ∫(0,∞) (x-1)²e⁻ˣ dx 这就是方差的计算公式。
请自己算一下这个无穷积分。请检查一下 1，2 的结果！
泊松分布的期望和方差公式及详细证明过程
如果X~P（a）那么E（x）=D(x)=a；
证明过程实在不好写（很多符号）
先证明E（x）=a；
然后按定义展开E（x^2）=a^2+a;
因为D（x）=E（x^2）-[E(x)]^2;得证。
典型的有：0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 T（tao）分布 等~