圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于当常数等于
F1F2
，
F1F2
时，轨迹是线段F1F2，当常数小于
F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，
且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF B．PF C．1?PF2?41?PF2?6D．PF1
2
PF1?PF2?10
PF2
2
8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） ?12（答：C）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点
x2
Q(22,0)及抛物线y?
4
上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2x?acos?（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）其中y?bsin?（参数方程，
ab
＝1（a
22
b?0）。方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且
y2x2
为参数），焦点在y轴上时2?2
ab
A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程
11x2y222
；（2）若x,y?R，且3x?2y?6，则x?y1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：(?3,?)?(?,2)）
223?k2?k
的最大值是____，x
2
y2的最小值是___
2）
y2x2
=1，焦点在y轴上：2?2
ab
＝1（a?0,b?0）。方程
x2y2
（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2
ab
Ax2?By2?C表示双曲线
x2y25
的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆1有公共焦点，则该双曲线的方
942
x2
程_______（答：；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?)，?y2?1）
4
则C的方程为_______（答：x
2
y2?6）
（3）抛物线：开口向右时
y2?2px(p?0)，开口向左时y22px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时
x22py(p?0)。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x
2
,
y
2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程
x2y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，
m?12?m
则m的取值范围是__（答：(,?1)?(1,
（2）双曲线：由x
2
3)） 2
,
y
2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a
4.圆锥曲线的几何性质：
2
b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。
x2y2
（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：
ab
两条对称轴x?0,y
0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线
a2
x
c
cx2y2
； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1的离心率
a5m
25，则的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值me?
35
为__（答：2
2）
x2y2
2?1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：xa或x?a,y?R；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称2ab
性：两条对称轴x?0,y
0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的
； ⑤离心率：e
2
a
长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x
c
c
，双曲线?e?1，a
等轴双曲线
b
e?e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：yx。如（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，
a
则该双曲线的离心率等于______
22
）；（2）双曲线ax?by?
1a:b
答：4
1
或4
x2y2
）；（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ
ab
（3）抛物线（以
的取值范围是________（答：[
,]）；
32
p
：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到y2?2px(p?0)为例）
2
准线的距离；③对称性：一条对称轴抛物线?
；④准线：一条准线xy?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）
p
2
； ⑤离心率：e?
c，a
e?1。如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,
1
； )）
16a
22x0y0x2y2
5、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；（2）点P(x0,y0)
abab
22
x0y0
在椭圆上?2?2
ab22
x0y0
＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1
ab
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
0?直线与椭圆相交； 0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的
渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是
（1）相交：?
直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是
2
2
_______（答：(-
x2y21恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆
5m3
x2y2
1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）+∞））；（3）过双曲线； 12
0?直线与椭圆相切；0?直线与双曲线相切；0?直线与抛物线相切；
（3）相离：0?直线与椭圆相离；0?直线与双曲线相离；0?直线与抛物线相离。
（2）相切：?
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,
x2y2直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2
ab
＝1外
一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如
x2y2
（1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线1有且仅有
916
2
4y2?2
一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
（答：,；（3）过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于）
32
两点，若
A、B
22；（4）对于抛物线C：y?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在AB?4，则满足条件的直线l有____条（答：3）
抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y
2
；（5）过抛?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）
物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
11
；（6）设双_______（答：1）
pq
x2y2
1的右焦点为F曲线
169
，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小
关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x
2y?16?0的最短距离（答：
22
）；（8）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB
为直径的圆过坐标原点？（答：①
； ；②a1）
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed
，
x2y2
其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为
2516
____（答：
352
）；（2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若3
x2y2
该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；（4）点P在椭圆1上，它到左焦点的距
259
离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：
252
）；（5）抛物线y?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段12
x2y2
AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF1内有一点P(1,?1)，
43
之值最小，则点M的坐标为_______（答：(
26
； ,?1)）
3
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线
上的一点
P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2
的面积为
S
，则在椭圆
x2y2
1中， ①?a2b2
＝
2b2
1)，且当r1?r2即P为短轴端点时，?
r1r2
P
为短轴端点时，
b2?c2
最大为?max＝a2
；②S
b2tan
2
c|y0|，当|y0|?b即
Smax的最大值为
bc；对于双曲线
2b2x2y2
12?1的焦点三角形有：①arccos?2?r1r2ab?
；
②S?
1?2
r1r2sinb2cot。如（1）短轴长为，离心率e?223
的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，
则?ABF2的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线x2F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，?y2?a2(a?0)右支上一点，
x2y2→→
1的焦点为F1、|PF1|=6，则该双曲线的方程为x?y?4）；（3）椭圆F2，点P为椭圆上的动点，当PF 2PF 94
2
2
2
1
<0时，点P的横坐标的取值范围是
（答：(6）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝2
，F1、F2是它
的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且
AB是AF2
与
BF2
等差中项，则
；AB＝__________
（答：（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2
60?，S?PF1F2?．求该双曲线的标准方
x2y2
1）程（答：； 412
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PAPB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：若直线
y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB
＝
1?x2y1?y2
，
若
B的纵坐标，则ABy1,y2分别为A、
1
y1?y22k
，若弦AB所在直线方程设为x?ky?b，则AB
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线
； y2?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）
x2y2
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点
ab
的弦所在直线的斜率
b2x0
k=－2
ay0
x2y2
；在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
ab
b2x0k=2
ay0
；在抛物线
y?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=
2
py0
x2y2
1弦被点A（4，2）平分，那么。如（1）如果椭圆
369
x2y2
这条弦所在的直线方程是 （答：x?2y?8?0）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，
ab
且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
2x2y2
）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆1
43
上有不同的两点关于直线
特别提醒：因为?
； y?4
x?m对称（答：）
0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！
12．你了解下列结论吗？
2222
yyxx（1）双曲线?2?1的渐近线方程为2?2?0； 2
abab
⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|?|MN|，求点P的轨迹。（答：x的轨迹方程是____（答：
2
y2?a|y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆x2?y2?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)
1
y2?2x?1(|x|?)）；（3）过抛物线x2?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M
2
2
的轨迹方程是________（答：x?2y?2）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆
x2y2
2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），2ab
Q是椭圆外的动点，满足
|F1|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且?TF2?0,|TF2|?0.（1）设x
为点P的横坐标，证明
2
满足
|F1|?a?
c
x；（2）求a
点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存
b2b2
a时不存在；当?a时存在，此时∠F1MF2＝2） 在，请说明理由. （答：（1）略；（2）x?y?a；（3）当cc
2
2
2
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量u（2）给出?与
1,k?或um,n?；
AB
的中点;
AB相交,等于已知?过
的中点;
（3）给出0,等于已知P是MN
（4）给出?
,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
实数
//；②存在
,?,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.
（5） 给出以下情形之一：①（6） 给出
,使；③若存在实数
，等于已知P是的定比分点，?为定比，即
1
MB
,即?AMB是直角,给出
（7） 给出0,等于已知MAm?0,等于已知?AMB
是钝角, 给出
MA?MB?m?0,等于已知?AMB
是锐角,
（8）给出?MP,等于已知MP
（9）在平行四边形
是?AMB的平分线/
ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;
（11）在?ABC中，给出OA三边垂直平分线的交点）；
2
OB?OC
22
，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形
（12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC； ?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）
（13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC点）；
OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交
ABAC)(R?)等于已知AP通过?ABC的内心； （14）在?ABC中，给出OP?OA(?
|AB||AC|
（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
1
AB?AC（16） 在?ABC中，给出AD?2
,等于已知AD是?ABC中BC边的中线;
求解圆锥曲线问题的几种措施
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
y2
1，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x?3
1
求|PA|?|PF|的最小值。
2
2
解析：如图所示，
双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知
1
|PF|即点P到准线距离。 2
|PA|? ?
15
|PF|?|PA|?|PE|?AM? 22
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）
b
，而c?t c2
b?pc?pt
2
p?
再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则
x?c?t
y?b?pt
2
消去t，得轨迹方程y?px
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y
R，且满足方程x2?y2?3(y?0)，又m?
y?3
，求m范围。 x?3
解析：?m?
y?322
的几何意义为，曲线x?y?3(y?0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示 x?3
kPA?m?kPB
3?33m? 22
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
OQ|的值为________。 ?y2?4和直线y?mx的交点为P、Q，则|OP||
解：OMP~?OQN
OQ|?|OM||?ON|?5 |OP||
例4. 已知圆(x?3)
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
2
xyx2y2
1，直线l：1，P例5. 已知椭圆：
1282416
|OQ||?OP|?|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足
解：如图，OQ，OR，OP?
OP?(?x，?
y)
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
共线，设OROQ?
，OPOQ，OQ?(x，y)?
，则OR?(?x，?y)
，
2|OQ||?OP|?|OR| ?
2?2
2
|OQ||OQ|
2
点R在椭圆上，P点在直线l上 ?
2x2
24
2y2
16
1，
x
12
y
8
1
x2y2xy? 即
2416128
化简整理得点Q的轨迹方程为：
2(x?1)2(y?1)2
1（直线yx上方部分） 323
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x
2
y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x2?y2?6x?4(x2?y2?6y?28)?0
22
(1)x?(1)y?6x?6?y?(284)?0
3?3?
，)，在直线x?y?4?0上 则圆心为(
11
解得?7
22
故所求的方程为x?y?x?7y?32?0
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
y2
1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x?2
解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2
2y12x112?2
x2?y2?12?2?
(x2?x1)(x1?x2)?
1?
2?
－得
(y2?y1)(y1?y2)
2
y2?y12(x1?x2) 即 ?
x2?x1y1?y2
设P1P2的中点为M(x0，y0)，则
y2?y12x0
kPP? ?12
x2?x1y0y0?1
又kAM?，而P1、A、M、P2共线
x0?2
y0?12x0
kPP?kAM，即 ?12
x0?2y0
P1P2中点M的轨迹方程是2x
2
y2?4x?y?0
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧
扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0 AA?垂直且等于 BB?垂直且等于BT，A?B?交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线A?B?的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； AT，使 （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A ' ‘ 于是 直线A?B? ?1,1?t?, B1，1?t?， ' ' 的方程为ytx?1； x2?y2?1,2t1?t2 ,)； （2）由方程组?解出P(0,1)、Q(22 1?t1?t?ytx?1, 1?01 , kQT 0?tt 1?t2 021?t21. ?22tt(1?t)?t 1?t2 （3）kPT? 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? x2y2 例2 已知直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩 ab 2r11?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c24a2?4c24a2?4c2 cos?F1PF211?1?2e?0， r?r2r1r22r1r22r1r2 2(12)2 2 解出 e? 2 .2 （2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 y?k(x?c)① x2y22 得 a2?2c2,b2?c2. 椭圆方程为 由1,A(x,y),B(x,y)e?.1122a2b22 于是椭圆方程可转化为 将①代入②，消去 x2?2y2?2c2?0② y得 x2?2k2(x?c)2?2c2?0, 整理为x的一元二次方程，得 (1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0. 22c?k2，22c(1?k2)， 2 |AB|k|x2?x1|? 1?2k21?22 也可这样求解： AB边上的高h?|FF|sin?BFF?2c?|k|, 1212 1?k2 S?|F1F2|?|y1?y2| 2 11?k2|k|S?22c()2c 2 21?2k?k2 ?c?|k|?|x1?x2| 则x1、x2是上述方程的两根．且|x2?x1|? ?2 2 ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得y c,|AB|?,S?2 2由①②知S的最大值为 2c2 由题意得2c2=12 所以c2?62?b2 a2?2 x212?y262 1. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x my?c① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 22 椭圆的方程为：x?y?1,A(x1,y1),B(x2,y2) 22 ab 由e? 2得：2 a?2c2,b2?c2,于是椭圆方程可化为：x2?2y2?2c2?0② . 2 把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的两根. |AB|y2?y1|? AB边上的高h? m 2 4m2c2?4c2(m2?2) m2?222c(1?m2), ? m2?2 2c?m 2 , 13 2 1?m22从而S?1|AB|h?1?22c(1?m)?2c?22c2 22m2?2(m?2)2?2c?m2 1 m2?1? 1 2m?1 2 2c2. 当且仅当m=0取等号，即Smax 2c2. 由题意知2c2?12, 于是 b2?c2?62,a2?2. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x22 y262 1. x2y2 例5 已知直线yx?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0上（１）. ab 求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x 2 y2?4上，求此椭圆的方程. yx?1， 讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由?x2 得 y2 2?2?1 b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0, 根据韦达定理，得 2a22b2 x1?x2?2,y1?y2(x1?x2)?2?2, a?b2a?b2 ）. a2b2 ∴线段AB的中点坐标为（2,2 2 a?ba?b2 2a22b2222222 由已知得2，故椭圆的离心率为e?0,?a?2b?2(a?c)?a?2c 2a?b2a2?b2 （2）由（1）知 b?c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F(b,0), 设 F(b,0) 关于直线 l:x?2y?0 的对称点为 (x0,y0),则 y0?01x?by34 1且0?2?0?0,解得 x0?b且y0?b 55x0?b222 2 由已知得 3242x2y22 x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的椭圆方程为1 . 5584 2 例6 已知⊙M：x 2 (y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于 A，B 两点， （1）如果| AB|? 423 ，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 14 讲解:（1）由| AB|? 423 ，可得 |MP|?MA|2?( 中， |AB|22221 )?2?()?,由射影定理，得 |MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在233 Rt△MOQ |OQ|?MQ|2?|MO|2?32?22?，故a?5或a， 所以直线AB方程是2x? y?25?0或2x?y?25?0; 2y?2 ,(*) ?ax （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得 2 由射影定理得|MB| |MP|?|MQ|,即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**) 71 y?2，可得x2?(y?)2?(y?2). 416 把（*）及（**）消去a，并注意到 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； 2 2 DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E （2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设 DM ，试确定实数?的取值范围． DN 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y= 22 22?()2?22∴动点22 x2 y2?1 . 2 P 的轨迹是椭圆∵a?b?1,c?1∴曲 线E的 方程是 （2）设直线L的方程为 y?kx?2, 代入曲线 E的方程 x2?2y2?2，得 (2k2?1)x2?8kx?6?0设M1（x1,y1), (8k)2?4(2k?1)?6?0,? 8k? , ?x1?x22 2k?1? 6? xx?.12?2k2?1? i) L与y轴重合时，?15 N(x2,y2), 则 ① ② ③ |DM|1 |DN|3 ii) L与y轴不重合时， 由①得 x3DMxD?xM k2?. 又∵1 2DNxD?xNx2 , ∵x2?x1?0, 或 x2?x1?0,∴0＜?＜1 , (x?x2)2(x1?x2)2x1x264k2321 ∴ ?22∵2 1x1?x26(2k?1)x1?x2x2x1?3(2?2)k 而k 2 31 , ∴6?3(2?2)?8.∴ 4?2k 323(2? 1 )k2 16116, ∴ 42?, 33 0?1,? 110?1 2,2, 3 110,3? 1?1? 1.∴?的取值范围是?,1? . 3?3? 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l过抛物线 （1）求证：4x1x2 y2?2px(p?0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点. p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若lx轴，则l的方程为x?P,显然xx?P.若l不垂直于x轴，可设y?k(x?P),代入 12 2242 22 抛物线方程整理得x2?P(1?2P)x?P?0,则xx?P. 综上可知 122 k44 4x1x2?p2. 2 2p 4p 2222 （2）设C(c,c),D(d,d)且c?d，则CD的垂直平分线l?的方程为y?c?dc?d(x?c?d) 2p2p 假设l?过F，则0?c?dc?d(p?c?d)整理得 (c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0 22 22p24p 2 2p2?c2?d2?0，?c?d?0. 这时l?的方程为y=0，从而l?与抛物线y?2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交 点，因此l?与l不重合，l不是CD的垂直平分线. 本！ 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50, 22xy?|AB|?,∴M在双曲线2?2?1的右支上. 2525?6 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工. 转载请保留出处，http://www.sodocs.net/doc/6c35cb22bcd126fff7050bbf.html